L'Explication Mathématique

Pour comprendre ce phénomène, il faut regarder le chemin parcouru par le centre de la pièce mobile.

• Soit R le rayon des deux pièces.
• La circonférence de la pièce mobile est C = 2πR.
• Le centre de la pièce mobile ne se déplace pas sur le bord de la pièce fixe, mais à une distance R de ce bord.
• Par conséquent, le centre de la pièce mobile décrit un cercle de rayon 2R (le rayon de la pièce fixe + le rayon de la pièce mobile).

Distance_centre = 2π(2R) = 4πR

Si l'on divise cette distance parcourue par la circonférence de la pièce mobile :

Nombre de tours = (4πR) / (2πR) = 2

L'Explication Intuitive

Une autre façon de visualiser cela est de décomposer le mouvement en deux contributions :

• Le roulement (1 tour) : Si vous "dérouliez" la pièce fixe pour en faire une ligne droite de longueur 2πR, la pièce mobile ferait exactement 1 tour en la parcourant.
• La révolution (1 tour) : En plus de rouler, la pièce mobile tourne autour de la pièce fixe pour revenir à sa position angulaire d'origine (comme la Terre autour du Soleil). Ce mouvement circulaire ajoute 1 tour supplémentaire sur elle-même.

Total : 1 + 1 = 2 tours.

Anecdote historique

En 1982, une question similaire est apparue dans le test SAT (examen d'entrée à l'université aux États-Unis). Il y avait une erreur dans les choix de réponses proposés : la réponse correcte ne figurait pas dans la liste, car les concepteurs du test étaient eux-mêmes tombés dans le piège en pensant que la réponse était "1" ou un autre ratio basé sur les circonférences simples !